miércoles, 5 de octubre de 2011

EL COMIENZO DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

EL COMIENZO DE LA LÓGICA MATEMÁTICA
(Síntesis)

Desde mediados del Siglo XIX y por el trabajo de un grupo de matemáticos que se interesan en la investigación lógica es que esta disciplina toma la forma de lógica matemática.
Son cinco los períodos en los que se puede dividir la historia de la lógica, de los cuales 3 son los más importantes:
1- El Clásico antiguo (hasta siglo VI D.C.)
2- 2- La Escolástica (siglos XI al XV)
3- Lógica matemática (desde el siglo XIX)

Hay 2 periodos que no son tan importantes porque no tienen demasiados aportes, la alta edad media (siglo VII al XI) y La moderna lógica clásica (siglos XVI al XIX)
En los periodos Clásico Antiguo y La Escolástica, la lógica está al servicio del razonamiento en el lenguaje ordinario, en cambio en la lógica matemática se construye
una forma de álgebra abstracta.
Kneale, en su libro “El desarrollo de la lógica” expresa que la diferencia marcada entre los 2 primeros periodos y el ultimo, es debido a que los 2 primeros son desarrollados por filósofos y el ultimo por matemáticos.
Leibniz, es el precursor de la moderna lógica matematica pero sus escritos lógicos no salen a la luz hasta que son publicados en 1901 por Couturat.
Las figuras de Boole y Frege representan dos momentos decisivos, con Boole la lógica es una parte de la matemática, se desarrolla como un calculo semejante al álgebra numérica, y con Frege se invierte la relación de tal manera que la aritmética, y con ella toda la matemática, se convierten en logica desarrollada.
La lógica matemática es una ciencia formal que se presenta en forma de calculo, parte de 2 supuestos metodológicos: servirse el calculo y conseguir demostraciones exactas.
Por el primero la lógica se construye a imitación de la matemática como parte suya. Este es el propósito que guío a Boole y constituye una primera fase de la lógica matemática,
Por el segundo lo que se persigue es la investigación de los fundamentos matemáticos dotando a la matemática de un modelo de demostración rigurosa. La lógica fundamenta a la matemática que deriva directamente de ella. Es el planteamiento de G.Frege que coloca a la matemática bajo el dominio de la lógica. Hay que distinguir una doble dirección en el desarrollo de la lógica matemática. Al modo de un álgebra nueva y mas gral., es el propósito que guía a los primeros lógicos del periodo. Boole, de Morgan o CH. S.Pierce se sitúan así dentro de la corriente de nuevos desarrollos en algebra. Boole al contrario que Leibniz fundara una escuela y su obra supone el punto de partida para un desarrollo ininterrumpido en logica. Desde el punto de vista formal, Boole separa tajantemente logica de psicologia o epistemologia y por lo tanto rompe con la logica clasica. De la mano de Boole es que llega la silogistica, la logica proposicional.
Po otro lado Frege (1848-1925) fue un matematico preocupado por el escaso rigor que mostraba, a fines del siglo XIX, la ciencia desde siempre considerada paradigma de rigor. Su programa de fundamentación del conocimiento matemático lo aborda en 2 etapas. La primera consiste en la construcción de un cálculo lógico que acomete en “Conceptografía”. En la segunda etapa se situa en el campo de la filosofia de la matematica donde defiende una posición logicista, desarrollada en sus dos obras fundamentales: Los fundamentos de la Aritmetica y Principios de la Aritmetica.

El logicismo, cuyos mas importantes representantes son Frege, como su fundador y Russell, que hace su mejor exposición los “Principia”, afirma que no hay diferencia esencial entre logica y matematica porque la matematica se desarrolla apartir de la logica. Mas exactamente todos los terminos matematicos pueden definirse mediante los terminos de la logica y todas las verdades de la matematica deducirse como teoremas de axiomas puramente logicos.

Junto con el logicismo encontramos 2 escuelas que tratan de resolver el problema de los fundamentos matematicos. El intuicionismo broweriano: los intuicionistas intentaran un camino diferente al establecer la verdad de las matematicas apelando a la sancion concedida por las mentes humanas, lo que podía ser intuido directamente. Brouwer escribe su libro “sobre el fundamento de las matemáticas” donde se expone la versión acabada del intuicionismo.

El formalismo Hilbertiano: D.Hilbert (1862-1943) es el representante mas destacado del formalismo. Su tesis fundamental sostiene que la matemática es una disciplina formal, abstracta, simbólica y sin referencia alguna al significado . A partir de axiomas lógicos y matemáticos expresados como fórmulas o colecciones de símbolos obtendremos otras fórmulas que serán teoremas deducidos.


puntos fundamentales



Peirce:

En 1867 demuestra los " teoremas duales".

En 1880 ofrecio una simplificacion de las funciones Booleanas; como "flecha de Pierce".



Sheffer:

En 1913 añadio el functor "barra de Sheffer".



Frege en su programa el conocimiento matematico, lo aborda en 2 etapas:

1º conceptografia (definicion y fundamentacion del conocimiento matematico).

2º los fundamentos de la aritmetica (la naturaleza de la aritmetica).

Frege:

Admite la cuantificacion de las funciones, construyendo la logica cuantificacional, monadica y poliadica, de orden superior.



Grundgesetze escribe 3 articulos de la logica:

1º Concepto y funcion (1891)

2º Concepto y objeto (1892)

3º Sentido y referencia (1892)



Begriffsschrift consta de 3 capitulos:

1º aclaracion de signos

2º exposicion y deduccion de algunos juicios del pensamiento puro

3º aspectos sobre una teoria general de las series



La axiomatica: 2 conjuntos de axiomas.

1º extraido de Begriffsschrift.

2º de Grundgesetze.



D.Hilbert: representante del formalismo de 1920.

Iveth Llave

Silvia Marcedú

Profesorado de Matemáticas - IES 2

Bibliografía:

"El Comienzo de la Lógica Matemática" de Carlos Martin Collantes y Ma. Olga Exposito Hernandez.